▲ 우주는 수학으로 이뤄져 있다는 자신의 믿음을 증명시켜준 ‘피타고라스 정리.’ 직각 삼각형에서 직각을 형성하는 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다는 발견은 평면 기하학에서 가장 의미 있는 정리 가운데 하나인데 무려 300여 개나 되는 증명이 존재하는 것으로 알려져 있다. 사진은 ‘피타고라스 정리’를 도형으로 이해하기 쉽게 표현한 증명 방법. (출처: 구글)

오랜만이다. 추석 연휴와 중간고사를 전후로 무려 5주만의 재회이다. 독자 여러분의 기억을 떠올리기 위해 이번 학기초에 소개한 ‘숫자 인문학’의 내용을 간단히 요약하자면, 숫자와 관련된 인류의 금기에서부터 미술과 음악에서 사용되는 숫자와 함께 수학에서 사용되는 소수의 유용성에 대해 언급한 바 있다. 이후에는 이집트에서 나일강의 범람 덕분에 탄생한 기하학과 이를 더욱 크게 발전시킨 피타고라스의 생애 전반부에 대해 설명했다. 이번 주는 피타고라스의 인생 후반부에 대한 이야기이다.

피타고라스가 활약하던 당시는 고대 그리스 철학의 전성기였는데, 수많은 철학자들은 불, 물, 흙, 공기 등과 같은 원소들이 우주와 지구의 기원이라고 강설하던 때였다. 한데, 피타고라스는 수학이 우주의 근본이며 수학이야말로 우주의 비밀을 풀 수 있는 열쇠라고 보았다. 그런 그가 내세웠던 슬로건이 “만물은 수다”라는 명제였다. 지구는 물론이거니와 별과 태양 모두 수학의 법칙을 따른다는 것이었다. 나아가 피타고라스는 음악에서도 수학이 차지하는 중요한 역할을 발견했다. 이와 관련한 그의 유명한 일화 한토막.

어느날 대장간 근처를 지나던 그는 평소와는 다르게 아름다운 망치질 소리를 들었다. 평소라면 시끄럽기만 했을 텐데 그날 그가 들은 쇠망치질은 대단히 조화롭게 울리고 있었다. 대장간에 가까이 다가가보니 두명의 대장장이가 각각 다른 길이의 쇠를 내려치고 있었다. 한데, 그 쇠의 길이들을 살펴보니 2:3의 비율이었다. 예를 들어, 한 대장장이가 두드리는 쇠의 길이가 30cm짜리라면 다른 대장장이가 두드리는 쇠의 길이는 20cm였던 것이다. 오늘날 우리가 ‘옥타브’라고 부르는 음 높이의 기본을 그가 발견하는 순간이었다. 일정한 비율의 현 길이에 따라 각각 다른 음정을 지니는 서양의 음악은 이렇게 탄생했다. 더불어, 그를 통해 발견된 음악의 법칙은 이후, 수학에서 ‘조화 평균’, ‘조화 수열’과 같은 용어를 낳으며 지금껏 사용되고 있다.

하지만 뭐니뭐니해도 그가 발견한 수학의 백미(白眉(백미))는 바로 논리적으로 증명될 수 있는 수학 ‘정리(定理)’의 발견이었다. 참고로, ‘정리’란 ‘정해진 이치’의 준말로 절대 변하지 않는 법칙을 의미한다. 이른바, ‘피타고라스 정리’로 잘 알려진 직각 삼각형 이야기이다.

사실, 피타고라스가 오랫동안 체류했던 이집트에서는 이미 경험적으로 삼각형의 세변의 길이가 3, 4, 5의 비율이 되면 직각 삼각형이 생긴다는 사실을 알고 있었다. 하지만, 피타고라스는 여기에서 더 나아가, 32+42=52이라는 사실을 밝혀냈으며 이를 증명으로 확고히 했다. 전하는 말에 따르면, 그와 그의 제자들은 직각 삼각형의 직각에 닿는 두변의 제곱의 합이 나머지 변에 해당하는 빗변의 제곱과 같다는 것을 발견한 후, 너무 기쁜 나머지 100마리의 황소를 제물로 바쳤다고 한다. 바로 이와 같은 경험이 그로 하여금 수학은 보이지 않는 자연과 우주의 법칙을 풀 수 있는 열쇠라고 생각하게 만들었다. 더불어 이 같은 그의 신념은 합리적인 수학에 바탕해 우주 법칙을 수학으로 풀고자 하는 종교적 신비주의로 발전하게 된다. 하지만, 우주의 법칙이 수학으로 이뤄져 있다고 믿은 피타고라스에게도 결코 해결할 수 없는 문제가 있었으니 바로 ‘무리수’의 발견이 그것이었다.

자신의 최대 업적이었던 직각 삼각형의 법칙에서 만일, 직각을 이루는 두변의 길이가 각각 4와 5일 경우, 직각 삼각형의 빗변은 오늘날 ‘루트 41(√41)’로 계산해야 하는 무리수였던 것이다.

덧붙이자면, 당시 그리스에서는 모든 수가 분수 로 표현이 가능하다고 여겼는데, ‘피타고라스 정리’는 증명 과정에서 이전의 믿음을 부인하는 ‘무리수’의 존재를 알려주게 된다. ‘무리수(無理數(무리수)’란 ‘이치에 닿지 않는 수’라는 뜻으로 영어로는 비이성적인 수라는 뜻에서 ‘irrational number’로 불린다. 이 일로 인해 피타고라스 학파의 사람들이 무리수를 발견한 그를 죽였다는 믿을 수 없는 이야기도 전해진다. 어쨌거나 피타고라스 학파는 직각 삼각형의 정리를 발견한 후, 무리수의 존재마저 알게 되자 일대 혼란에 빠졌다. 이에 그들은 세상이 유리수만으로 이루어져 있어야 하기에 ‘신의 실수’로 만들어진 무리수는 존재하지 않는 수로 간주했다. 이와 관련해서 훗날, 히파소스라는 피타고라스의 제자가 세상에 무리수의 존재를 알리려다가 죽임을 당했다는 일화도 전해지고 있다.

그럼, 다음 시간에는 피타고라스의 말년에 대한 마지막 이야기를 알아보도록 하자. 어느덧 11월이다. 이제 2023년도 얼마 남지 않았다. 모두들 바쁜 와중에 늦가을을 만끽하도록 하자.